La formule permettant de calculer la somme de nombres allant
de 1 à n fut découverte par le "prince des mathématiciens" Carl Gauss
alors qu'il n'avait que 9 ans ! Alors à l'école, son professeur lui demanda de
calculer la somme de nombres allant de 1 à 100, et il trouvera facilement la
formule : n*(n+1)/2.
Il agit astucieusement, en additionnant, les nombres les
plus extrêmes, remarquant qu'à chaque fois le résultat est 101. (1+100 = 101,
99+2 = 101, 98+3 = 101 etc.). Il remarque donc qu'il existe 50 paires ayant
pour résultat 101. Il en conclue facilement que 50*101 est la réponse. Ainsi,
il développe la formule en partant du principe que 50*101 = 100*101/2.
En 1792, le duc de Brunswick remarque ses aptitudes et lui
accorde une bourse afin de lui permettre de poursuivre son instruction. Il est
ainsi envoyé à l'université technique Carolo-Wilhelmina de Brunswick, entre
1792 et 1795, où il suit notamment les cours de l'entomologiste Johann
Christian Ludwig Hellwig. Durant cette période, il formule la méthode des
moindres carrés et une conjecture sur la répartition des nombres premiers,
conjecture qui sera prouvée un siècle plus tard. Gauss acquiert pendant toute
sa scolarité une très grande érudition. Puis il poursuit des études supérieures
à l'université de Göttingen entre 1795 et 1798.
En 1796, à seulement 19 ans, Gauss caractérise presque
complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au
compas uniquement (théorème de Gauss-Wantzel), complétant ainsi le travail
commencé par les mathématiciens de l'Antiquité grecque. Satisfait de ce
résultat, il demande qu'un Heptadécagone (polygone régulier de 17 côtés) soit
gravé sur son tombeau. En août 1799, il soutient son doctorat à l'université de
Helmstedt, sur le théorème fondamental de l'algèbre.
L'année 1801 voit la publication de Disquisitiones
arithmeticae, qui définit pour la première fois les congruences et initie
l'arithmétique modulaire, et qui apporte plusieurs importants théorèmes en
théorie des nombres, notamment les deux premières preuves de la loi de
réciprocité quadratique. Gauss est aussi capable, par une nouvelle méthode de
calcul, de prédire l'emplacement où doit apparaître Cérès. Ces résultats le
rendent célèbre à travers l'Europe.
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